Графы. Обход графов в ширину и глубину.

Представление графов

Граф – это множество однотипных объектов (вершин), некоторые из которых связаны друг с другом какими-либо связями (ребрами). Одна связь всегда соединяет только две вершины (иногда – вершину саму с собой). Основные разновидности графов:

неориентированные (обычные), в которых важен только сам факт связи двух вершин
ориентированные (орграфы), для которых важным является еще и направление связи вершин
взвешенные, в которых важной информацией является еще и степень (величина, вес) связи вершин

Примеры графов разных типов:


обычный	ориентированный	взвешенный

Для описания графа как структуры данных используются два способа: матрицы смежности и списки смежности. Первый способ предполагает использование двумерного массива чисел, который для простых графов заполняется только значениями 0 (нет связи) и 1 (есть связь), а для взвешенного – значениями весов. Для обычного графа матрица смежности всегда является симметричной относительно главной диагонали, а для орграфа чаще всего эта матрица не симметрична, что отражает одностороннюю направленность связей.
Для рассмотренных выше примеров матрицы смежности будут следующими:

	A	B	C	D	E
A	0	1	1	1	1
B	1	0	0	0	1
C	1	0	0	1	0
D	1	0	1	0	0
E	1	1	0	0	0

	A	B	C	D	E
A	0	1	1	0	0
B	1	0	0	0	1
C	0	1	0	1	1
D	1	0	0	0	1
E	0	0	0	0	0

	A	B	C	D	E
A	0	15	0	9	0
B	15	0	10	0	0
C	0	10	0	22	6
D	9	0	22	0	19
E	0	0	6	19	0

Недостатки данного способа:

заранее надо знать хотя бы ориентировочное число вершин в графе
для графов с большим числом вершин матрица становится слишком большой (например 1000*1000 = 1 миллион чисел)
при малом числе связующих ребер матрица заполнена в основном нулями

Этих недостатков во многом лишен второй способ, основанный на использовании списков смежных вершин. Здесь списки содержат ровно столько элементов, сколько ребер в графе, и кроме того вершины и ребра могут добавляться динамически. Список смежных вершин представляет собой главный список всех вершин и множество вспомогательных списков, содержащих перечень вершин, связанных с данной. Для рассмотренных выше обычного графа и ориентированного графа списки смежности будут следующими:

Описание подобной сложной списковой структуры выполняется обычным образом.
Операции добавления и удаления по сравнению с деревьями имеют следующие варианты:

добавление новой связи (ребра) между заданной парой существующих вершин
добавление новой вершины вместе со всеми необходимыми связями
удаление связи (ребра) между двумя вершинами
удаление вершины вместе со всеми ее связями

Добавление нового ребра включает в себя (на примере обычного графа):

получение имен связываемых вершин
поиск в основном списке первой связываемой вершины
поиск в списке смежных ей вершин второй связываемой вершины и либо вывод сообщения об ошибке, либо добавление в этот список нового элемента с именем второй вершины
поиск в основном списке второй связываемой вершины
поиск в списке смежных ей вершин первой связываемой вершины и либо вывод сообщения об ошибке, либо добавление в этот список нового элемента с именем первой вершины

Добавление новой вершины включает в себя:

запрос имени новой вершины вместе с именами всех связываемых с ней вершин
поиск в основном списке имени новой вершины и в случае отсутствия ее -добавление в основной список
формирование списка вершин, смежных вновь добавленной
поиск в основном списке всех смежных вершин и добавление в их вспомогательные списки нового элемента с именем новой вершины

Удаление ребра производится следующим образом:

запрос имен двух вершин, между которыми разрывается связь
поиск в основном списке каждой из этих вершин
поиск в каждом из двух вспомогательных списков имени соседней вершины и удаление соответствующего элемента

Удаление вершины производится следующим образом:

запрос имени удаляемой вершины
поиск ее в основном списке
просмотр вспомогательного списка удаляемой вершины, для каждого элемента которого:

поиск смежной вершины в основном списке и удаление из ее вспомогательного списка элемента, соответствующего удаляемой вершине
удаление самого элемента из вспомогательного списка

удаление вершины из основного списка

При обработке графов часто приходится выполнять обход всех его вершин. Правила обхода графов похожи на обход деревьев. Существуют два основных правила обхода, известные как поиск в глубину и поиск в ширину.

Обход в глубину

Поиск в глубину использует две структуры – стек для запоминания еще не обработанных вершин и список для запоминания уже обработанных. Поиск выполняется следующим образом:

задать стартовую вершину (аналог корневой вершины при обходе дерева)
обработать стартовую вершину и включить ее во вспомогательный список обработанных вершин
включить в стек все вершины, смежные со стартовой
организовать цикл по условию опустошения стека и внутри цикла выполнить:

извлечь из стека очередную вершину
проверить по вспомогательному списку обработанность этой вершины
если вершина уже обработана, то извлечь из стека следующую вершину
если вершина еще не обработана, то обработать ее и поместить в список обработанных вершин
просмотреть весь список смежных с нею вершин и поместить в стек все еще не обработанные вершины

Например, для рассмотренного выше обычного графа получим:

пусть стартовая вершина – B
включаем B в список обработанных вершин: список = (В)
помещаем в стек смежные с В вершины, т.е. A и E: стек = (А, Е)
извлекаем из стека вершину E: стек = (А)
т.к. E нет в списке обработанных вершин, то обрабатываем ее и помещаем в список: список = (В, Е)
смежные с E вершины – это A и B, но B уже обработана, поэтому помещаем в стек только вершину А: стек = (А, А)
извлекаем из стека вершину А: стек = (А)
т.к. А нет в списке обработанных вершин, то помещаем ее туда: список = (В, Е, А)
смежные с А вершины – это B, C, D, E, из которых B и E уже обработаны, поэтому помещаем в стек C и D: стек = (A, C, D)
извлекаем из стека вершину D: стек = (A, C)
т.к. D не обработана, то помещаем ее в список: список = (B, E, A, D)
смежные с D вершины – это А и С, из которых А уже обработана, поэтому помещаем в стек вершину С: стек = (А, С, С)
извлекаем из стека вершину С: стек = (А, С)
т.к. С не обработана, помещаем ее в список: список = (B, E, A, D, C)
смежные с С вершины – это A и D, но они обе уже обработаны, поэтому в стек ничего не заносим
извлекаем из стека С, но она уже обработана
извлекаем из стека А, но она тоже уже обработана
т.к. стек стал пустым, то завершаем обход с результатом (B, E, A, D, C)

Поиск в ширину

Работает немного по другому: сначала обрабатываются все вершины, смежные с текущей, а лишь потом – их потомки. Вместо стека для запоминания еще не обработанных вершин используется очередь. Последовательность действий:

задать стартовую вершину (аналог корневой вершины при обходе дерева)
обработать стартовую вершину и включить ее во вспомогательный список обработанных вершин
включить в очередь все вершины, смежные со стартовой
организовать цикл по условию опустошения очереди и внутри цикла выполнить:

извлечь из очереди очередную вершину
проверить по вспомогательному списку обработанность этой вершины
если вершина уже обработана, то извлечь из очереди следующую вершину
если вершина еще не обработана, то обработать ее и поместить в список обработанных вершин
просмотреть весь список смежных с нею вершин и поместить в очередь все еще не обработанные вершины

Тот же что и раньше пример даст следующий результат:

пусть стартовая вершина – B
включаем B в список обработанных вершин: список = (В)
помещаем в очередь смежные с В вершины, т.е. A и E: очередь = (А, Е)
извлекаем из очереди вершину А: очередь = (Е)
т.к. она не обработана, добавляем ее в список: список = (В, А)
смежные с А вершины – это B, C, D и E, помещаем в очередь вершины C, D и E: очередь = (E, C, D, E)
извлекаем из очереди вершину Е: очередь = (C, D, E)
т.к. Е не обработана, помещаем ее в список: список = (B, A, E), т.е. в первую очередь обработаны обе смежные с В вершины
смежные с Е вершины – это А и В, но обе они уже обработаны, поэтому очередь новыми вершинами не пополняется
извлекаем из очереди вершину С: очередь = (D, E)
т.к. С не обработана, то помещаем ее в список: список = (B, A, E, С)
смежные с С вершины – это А и D, помещаем в очередь только D: очередь = (D, E, D)
извлекаем из очереди вершину D: очередь = (E, D)
т.к. D не обработана, помещаем ее в список: список = (B, A, E, С, D)
смежные с D вершины – это А и С, но обе они обработаны, поэтому очередь не пополняется
извлекаем из очереди вершину Е, но она уже обработана: очередь = (D)
извлекаем из очереди вершину D, но она уже обработана и т.к. очередь становится пустой, то поиск заканчивается с результатом (B, A, E, С, D), что отличается от поиска в глубину.

В заключение отметим несколько наиболее часто встречающихся задач на графах:

найти путь наименьшей (наибольшей) длины между двумя заданными вершинами
выделить из графа дерево, имеющее наименьший суммарный вес ребер (кратчайшее покрывающее дерево)
присвоить каждой вершине графа цвет таким образом, чтобы не было ни одной пары смежных вершин, имеющих одинаковый цвет, и при этом число используемых цветов было бы минимальным (задача раскраски графа)
найти в графе такой путь, который проходит по всем вершинам ровно по 1 разу и имеет при этом наименьшую суммарную длину (задача бродячего торговца или коммивояжера).